Método de hipérbola de Dirichlet

En teoría de números, el método de hipérbola de Dirichlet es una técnica para evaluar la suma:

${\displaystyle \sum _{n\leq x}f(n)}$

donde ${\displaystyle f,g,h}$ son funciones multiplicativas con ${\displaystyle f=g*h}$, y donde ${\displaystyle *}$ es la convolución de Dirichlet. Esto usa el hecho de que:

${\displaystyle \sum _{n\leq x}f(n)=\sum _{n\leq x}\sum _{ab=n}g(a)h(b)=\sum _{a\leq {\sqrt {x}}}\sum _{b\leq {\frac {x}{a}}}g(a)h(b) \sum _{b\leq {\sqrt {x}}}\sum _{a\leq {\frac {x}{b}}}g(a)h(b)-\sum _{a\leq {\sqrt {x}}}\sum _{b\leq {\sqrt {x}}}g(a)h(b).}$

Usos

Sea ${\displaystyle \tau (n)}$ la función de número de divisores. Puesto que ${\displaystyle \tau =1*1}$, el método de hipérbola de Dirichlet ofrece el resultado^[1]​^[2]​

${\displaystyle \sum _{n\leq x}\tau (n)=x\log x (2\gamma -1)x O({\sqrt {x}}).}$

Véase también

• Función suma de divisores

Referencias